Вводная лекция по теории управления

Тезисы лекции.



0. Немного о математике.
- разрыв между теорией и практикой в задачах управления
- отношение с математикой: многие математические результаты имеют форму высказываний о существовании, нужны конструктивные результаты
- формализм и интуицизм в математических методах
- проектирование как оптимизация = пространство поиска + целевая функция и критерий оптимальности + выбор направления движения в пространстве
- численные методы
- основные обозначения далее по курсу: $u$ -- вход объекта управления, $y$ -- выход объекта управления, $x$ -- состояние объекта управления, $z$ -- состояние системы управления, $r$ -- вход системы управления (aka уставка), $\mathbb{R}^n$ -- пространство вещественных векторов размерности $n$.

1. Абстрактная теория управления
- множество сигналов -- банахово пространство (сигнал -- вектор с бесконечным числом компонентов),
- норма сигнала = энергия сигнала
- если оператор отображает сигналы $P: u(t) \mapsto y(t)$, то норма сигнала $\|u\|_2 = (\int_0^{\infty} u^2(t) dt)^{1/2}$
- алгебра динамических систем: включает операции композиции $\circ$ (некоммутативного умножения) и параллельного разъединения $\diamond$ (коммутативного сложения), также действуют дистрибутивные законы.
- объект управления $P$, система управления $C$, их композиция $S = P \circ C$ такая, что удовлетворяет заданным спецификациям
- управление = инверсия, $S = P \circ C = id, S : r(t) \mapsto y(t), y(t) \approx r(t)$
- инверсия всегда получается численным образом, $C \ne P^{-1}$
- косвенное решение задачи управления = обеспечение устойчивости семейства систем
- устойчивость = конечный запас энергии в системе, для всех сигналов $\| x_i \| < \infty$
- абстрактный синтез систем управления
- наблюдаемость = можем ли мы принять решение об управлении на основе информации, что у нас умеется
- управляемость = можем ли мы перевести систему в состояние, которое определено функцией управления

2. Моделирование
- большинство моделей -- приближенные
- моделирование в теории управления почти всегда носит качественный характер
- источники неопределенностей: изменение объекта управления во времени, не учтенное в модели поведение, внешние возмущения
- внешние возмущения -- то, что складывается с сигналами в системе (в том числе и вход системы)
- робастные системы управления -- это системы управления в которых на этапе синтеза закладываются неопределенности в объекте управления
- адаптивные системы -- системы управления, которые настраиваются на медленно изменяющиеся параметры системы
- получение моделей -- аналитическое моделирование физических систем, позволяет точно вникнуть в принципы работы систем
- идентификация модели -- сопоставление с реальным объектом управления $P$ модели $\hat P$, так чтобы норма их разности была минимальной $\|P - \hat P\| \to \min$ -- задача оптимизации при известных реакциях входа и выхода объекта.

3. Представление в пространстве состояний
- современная теория управления использует представление систем управления во временной области, без их перенесения в частотную
- большинство динамических систем представимы в виде $\dot x = f(x,u), y = h(x)$, $f : \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}^n, h : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^n$.
- интуиция в моделях систем: фазовый портрет в любой точке $(x, u)$ определен вектор, направление и длина которого задается функцией $f(x,u)$ -- понимание того, куда будет двигаться система в следующий момент времени
- интуиция в моделях систем: если $f$ близка к линейной, то управление системой похоже на решение уравнений по статической нелинейности $h$
- автономная система -- система без входа, $\dot x = f(x), y = h(x)$,
- задача управления через стабилизацию: система с обратной связью $C : (r,y) \mapsto u, P : u(t) \mapsto y(t)$ может быть представлена в виде автономной системы с выходом $e(t) = r(t) - y(t)$, на которую действуют возмущения $r(t)$

4. Линейные системы.
- линейная система $L$ представима в виде $\dot x = Ax + Bu, y = C x$, где $x,y,u \in \mathbb{R}^n; A,B,C \in \mathbb{R}^{n \times n}$,
- линейные системы коммутируют $L_1 \circ L_2 = L_2 \circ L_1$
- принцип инвариантности реакции на гармонический сигнал: $L : \sin(\omega t) \mapsto A \sin(\omega t + \phi)$
- линейные системы всегда стабилизируемы линейной обратной связью $u(x) = Kx + r$ (кроме патологических случаев с проблемами управляемости)
- устойчивость системы с замкнутой обратной связью определяется свойствами матриц $A,B,K$ (свойство гурвициевости)
- поскольку устойчивость системы -- качественный признак, то для ограниченного семейства возмущений $r_{min} \le r(t) \le r_{max}$ всегда можно выбрать $A,B,K$ так, чтобы система по отношению к $e(t)$ была устойчива
- интуиция по поводу линейных систем: локальное управление, по разности $e(t) = y(t)-r(t)$ всегда можно определить направление движения, чтобы обеспечить $e(t) \to 0$
- линейная теория управления -- в целом хорошо понимаемая и исследованная область
- формальные методы доступны в пакете MATLAB (библиотека Control System Toolbox)

5. Нелинейные системы
- интуиция: локальное управление недостаточно
- все сложности начинаются с наличия в автономных системах нескольких стационарных точек
- три подхода к нелинейностям: отрицание нелинейности, сокращение нелинейности и функции Ляпунова
- отрицание нелинейности: система $\dot x = f(x,u) = A x + B u + w(x,u) \approx A x + B u$, лианеризация в точке
- сокращение нелинейностей: преобразование координат в аффинной системе $\dot x = f(x) + g(x)u$, $u = (v - f(x))/g(x)$, $\dot x = v$
- метод Ляпунова: обобщенная энергия в системе $V(x,u) \ge 0$, $\dot V(x,u) < 0$ -- функция Ляпунова, стабилизация достигается подстановкой $u(x) = -grad (V) g(x)$