Лекция 10. Трансформация в линейные системы.

В лекции рассматривается вопрос из области геометрической теории нелинейных систем управления: как с помощью нелинейной обратной связи из исходной нелинейной системы получить линейную. Это метод линеаризации с помощью/по обратной связи (feedback linearization).

Ниже только план лекции и формулирование метода.



План
0. математические понятия
- классы нелинейных функций, диффеоморфизм
- производная Ли
- теорема об инверсной функции
1. постановка задачи
- линейные vs нелинейные системы, принципиальные ограничения
- условие на область значений функций выхода
- условие на управляемость, нелинейная управляемость
2. классическая теория
- относительная степень
- диффеоморфизм преобразования координат
- структура системы управления, линеаризация как разомкнутое управление по выходу, контур обратной связи для регулирования выхода
3. пост-классическая теория
- гомеоморфизм преобразования координат
- инъективность и монотонность
- кусочно-линейная линеаризация


Метод линеаризации по обратной связи (кратко)

Пусть имеется динамическая систему с $m$ входами и $m$ выходами, заданная системой уравнений:

$$\dot{x} = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i$$
$$y = h(x)$$

где $x \in \mathbb{R}^n$, $y \in \mathbb{R}^m$, $u \in \mathbb{R}^m$, а $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $g_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $h : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ -- гладкие отображения, $\mathcal{L}_f \lambda = \frac{\partial \lambda(x)}{\partial x} f(x) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \lambda(x)}{\partial x_i} f_i(x)$ -- производная Ли функции $\lambda$ по полю $f$:

Определим $r_j > 0$, такое целое число, что, по крайне мере, для одной функции $g_i$ в области $\mathfrak{S} \subseteq \mathbb{R}^n$:

$$ \mathcal{L}_{g_i} \mathcal{L}_f^{r_j-1} h_j \ne 0 $$

где число $r = \sum_{i=1}^m r_j$ называется относительной степенью системы. Будем рассматривать системы, для которых $ r = n $.

В таком случае, исходная динамическая система в области $\mathfrak{S}$ эквивалентна системе:

$$y^{(r_j)}_j = \mathcal{L}_f^{r_j} h_j + \sum_{i=1}^m \mathcal{L}_{g_i} \mathcal{L}_f^{r_j-1} h_j \cdot u_i$$

Определив функциональную матрицу $ A_{kp} = \mathcal{L}_{g_p} \mathcal{L}_f^{r_k-1} h_k $ и векторную функцию $ B_{j} = \mathcal{L}_f^{r_j} h_j $, исходную динамическюу систему можно переписать в матричной форме:

$$y^{(r_j)} = B(x) + A(x) \cdot u$$

Очевидно, что подстановка:

$$u = A(x)^{-1} [ v - B(x) ]$$

переводит в области $\mathfrak{S}$ исходную нелинейную динамическую систему в линейную:

$$y^{(r_j)} = v$$