Лекция про более продвинутые аспекты использования линеаризации по обратной связи. Некоторые связные тезисы лекции.
0. Линеаризация нелинейных систем приводит к фактическому использованию двух петлей обратных связей: внутренней, которая делает из нелинейной системы линейную; и внешней, которая решает задачу управления линеаризованной (линейной) системой. Если мы берем исходную систему N $\dot x = f(x) + g(x) u$, $y = h(x)$, то после линеаризации получаем систему L вида примерно $y^{(r)} = v$, где $y^{(r)} = \frac{d^r}{dt^r}y(t)$. Но, в действительности, из-за нерегулярности или неопределенности модели мы всегда имеем лишь приближенную линеаризацию $y^{(r)} = v + w$, где $\| w(t) \|$ ограничено. Стабилизация линейной системы, возмущенной сигналом $w$ -- классическая задача робастного управления, и весь арсенал методов линейной теории систем может быть применен в данном случае.
1. Суть линеаризации: дифференцируем выход системы $y$ до тех пор, пока полученное выражение не будет зависеть от $u$ в явном виде. Имеем после всех дифференцирований $y^{(r)} = b(x) + a(x) u$. Подстановка $u = a(x)^{-1}(v - b(x))$ превращает систему N в L. Чтобы $u$ было ограничено, необходимо, чтобы $a(x) \ne 0$ или $\det a(x) \ne 0$ в случае, если это система с несколькими входами и выходами.
2. Фундаментальным понятием аппарата линеаризации систем является понятие относительной степени $r$ -- размерность пространства состояний системы, получаемой после линеаризации. Точная линеаризация возможна только тогда, когда размерность фазового пространства исходной и линеаризованной системы совпадает, т.е. $n = r$. Когда $n \ne r$ применяются специальные методы.
3. Бывает два варианта специальных подходов: когда $rank~a(x) = r(x) = const < n$, и когда $r(x)$ -- функция, меняющее свое значение в фазовом пространстве. Если $r(x) = const$, то нужно сделать следующее: выходы $u_j$, которые попали в выражение для $y$, пропустить через интегратор и продифференцировать выходы $y$ еще раз, чтобы те входы, которые не наблюдались изначально в результате, появились в явном виде в выражении для $y$. Это процесс можно продолжать итерационно, в конце получается, что $r(x) = n$. Такая ситуация наблюдается в предложенной задачи для одноколесного робота, а также других мобильных роботах.
4. Нелинейную систему от входа и выходу можно записать в форме Коши, т.е. вместо исходной $\dot x = f(x) + g(x) u$, $y = h(x)$, можно записать $y^{(r)} = b(x) + a(x) u$, а далее переписать так, чтобы в левой части были только первые производные -- в виде векторного дифференциального уравнения: $\dot \xi = A_0 \xi + b_0 \cdot (a(x) + b(x) u)$, где $y = h(x) = \xi_1$, $\dot y = \xi_2$, ... $y^{(r-1)} = \xi_r$. Нетривиальным является то, что если система регулярна, то всегда существует преобразование координат $\Phi: x \mapsto \xi$, и обратное ему $\Phi^{-1}: \xi \mapsto x$. Тогда можно написать систему в форме Коши только через координаты $\xi$: $\dot \xi = A_0 \xi + b_0 \cdot (\alpha(\xi) + \beta(\xi) u)$. Такая запись называется нормальной фомрой (normal form).
5. Если $r < n$, то система даже после линеаризации будет обладать некоторым поведением, которое не наблюдаемо непосредственно через выход $y$ (а точнее: через $y$ и производные $y$, т.е. по вектору $\xi$). Поведение системы в этом случае называется нуль-динамикой (zero dynamics). Чуть более конкретно, если мы рассмотрим состояние системы, когда $y = 0$, то такому состоянию будет соответствовать множество значений вектора $x$, и эти состояния могут эволюционировать друг-в-друга согласно некоторому дифференциальному уравнению -- модели нуль-динамики. Поскольку нормальной форма в этом случае содержит $r$ уравнений, то для полноты описания системы она должна быть дополнена еще $n-r$ уравнениями. Например, $\dot \eta = q(\xi, \eta)$.
6. Бывает так, что нуль-динамика никак не влияет на выход $y$. Но в общем случае, мы имеем следующую нормальную форму с учетом нуль-динамики
$\dot \xi = A_0 \xi + b_0 \cdot (\alpha(\xi, \eta) + \beta(\xi, \eta) u)$
$\dot \eta = q(\xi, \eta)$
Тогда регулятор, который линеаризует объект управления с нуль-динамикой, должен содержать в себе модель нуль-динамики системы и собственно вычисление линеаризующей подстановки:
$u = \beta(\xi, \eta)^{-1} (u - \alpha(\xi, \eta))$
$\dot \eta = q(\xi, \eta)$
Комментариев нет:
Отправить комментарий